魔方概述及其在機械領域應用的思考

魔方(Rubik’s Cube)是一種廣受歡迎的機械益智遊戲，因其獨特的特性而受到全世界的關注。魔方作為一種眾所周知的經典益智玩具，曾被許多學者用於科學研究和技術開發。本文通過對魔方的基本認識，從魔方的起源、發展、特點、研究現狀，特別是魔方的機械工程設計等方麵介紹魔方的機械藝術，並對魔方在機構中的應用進行展望。首先介紹魔方的發明和起源，然後分析魔方本身的特點。然後，對魔方在國內外各學科的研究現狀進行了綜述，包括魔方科學隱喻、約簡算法、特性應用、機理問題等方麵的研究。最後，討論了魔方在機構領域的應用和前景。

魔方是一種3D組合益智遊戲，由匈牙利雕刻家、建築學教授厄恩蒂赫·魯比克於1974年發明[1，最初被稱為魔方[2，3.］．這一發明以其獨特的特性引起了全世界的廣泛關注，對人類產生了深遠的影響。魔方被列為20世紀最具影響力的100項發明之一[4］．此外，它被廣泛認為是世界上最暢銷的玩具。5］．它獲得了德國年度最佳遊戲獎[6並在英國、法國和美國獲得了類似的最佳玩具獎。［7］．

雖然魔方在20世紀80年代達到了主流流行的高度，但它仍然被廣泛了解和使用。它不僅吸引了魔方愛好者研究魔方簡化算法[8，9，10]也因其精巧的設計和思想，吸引了各行各業的科學家和技術工作者的注意[11］．一方麵，魔方結構具有旋轉、排列和組合、循環和對稱等特點，被視為研究具體科學問題的物理模型或工具，或在某些領域運用科學理論或方法進行研究。總而言之，魔方的原理包含在許多科學係統中，包括排列和組合、對稱和周期性。另一方麵，學者們開始探索魔方結構的內部運動原理。根據魔方的旋轉特性，探討了魔方的應用前景。

魔方的概念起源於《中國羅書》[12]，可以簡化為九宮圖，如圖所示1．

九宮圖是一個零維三階立方體。的n-階魔方是由1、2、3、…n²在一個n-order square，它是每一行、每列和兩條對角線上的數字的和\(n(n^{2} + 1)/2\)．這叫做神奇平方常數。三階立方體的魔方常數是15 [13］．

重排九宮是一種一維的三階立方體，是大約元朝時期從九宮圖發展而來的一種遊戲。該遊戲通過移動棋子在棋盤的9個位置放置8個可移動棋子，形成另一個圖案，以完成《重排九宮》的圖案變化。

重排九宮棋傳到西方，山姆·羅伊德在此基礎上發明了十五棋。十五棋的原理(移動棋子來實現模式的變化)與重排九宮的原理相同。然而，15棋的順序是一個四階的立方體，比重排九宮高一級。

在那之後，立方體的發展從順序轉向了維度。在清代，中國學者提出了使用數字塊三維魔方的想法。事實上，這是一個三維的二階立方體原型，如圖所示2．

直到1974年魯比克設計了一個可旋轉的力學立方體，三維魔方才具有旋轉特性。日本Stonefur在1976年獨自完成了同樣的設計。移動棋子實現圖案變化的原理類似於重排九宮，通過移動棋子實現整體變化。其核心原理是，一個部件的運動路徑受到與該部件接觸的其他部件的約束。

魯比克製作了世界上第一個三級立方體，它看起來像一個球體，通過組件之間的約束來實現特定的旋轉。如圖所示3.．最初，考慮到安全問題，多維數據集的8個頂點被略去了一些。後來由於頂點不影響外形，製作過程更簡單，就變成了尖角，變成了立方形狀。今天常見的三階立方體如圖所示4．由此可見，魔方的形狀可以在不影響魔方結構旋轉的情況下進行重新設計。

魔方發明後，人們設計了各種改良的魔方，以擴大魔方家族的規模[14］．一般來說，魔方可以分為兩類:正方體和特殊形狀的立方體。立方體是指盒子結構中沒有變化的立方體，但立方體的順序增加。魔方有不同的變體，最多可達33層，有2 × 2 × 2(口袋/迷你魔方)，標準的3 × 3 × 3魔方，4 × 4 × 4(魔方複仇/大師魔方)，和5 × 5 × 5(教授魔方)最著名。17 × 17 × 17“Over The Top”立方體(2011年底上市)是2017年12月之前商業銷售的最大的(也是最貴的，超過2000美元)立方體。存在一個22 × 22 × 22立方體的工作設計，並於2016年1月進行了演示[15]，並於2017年12月推出了33 × 33 × 33的立方體[16］．中國製造商盛壽一直在生產從2 × 2 × 2到10 × 10 × 10的各種尺寸的立方體(截至2013年底)[17]，並製作了一個11 × 11 × 11的模型。數字5列出多維數據集的六種情況。

異形立方體是指除正方體外的立方體族。異形立方體的結構形狀多種多樣，包括多麵體立方體、球體立方體、四麵體立方體、鏡麵立方體、齒輪立方體、餅立方體等。數字6列出了六種特殊形狀的立方體。

早在1959年，人們就發明了一種依靠磁力旋轉的二階立方體。然而，這個魔方不如魔方受歡迎，後者的旋轉依賴於機械。一方麵，受其磁性結構和市場經濟因素的影響，立方體的成本過高。另一方麵，二階立方體很難恢複。接下來，魯比克發明了三階魔方，它結構緊湊，設計巧妙，成本低廉，從而克服了二階磁魔方先天的不足。簡而言之，內部特殊的機械結構是魔方獨創性的關鍵。

結構轉動特性

魔方的機構結構是魔方最奇妙的地方。起初，魔方似乎完全不可能起作用。很少有人提出可行的機製，也很少有人是實際可行的。後來，魔方的許多機製都是基於塊之間的榫卯連接，如圖所示7．

魯比克的機構有如圖所示的連接7(c)，大大簡化了零件的形狀。可以使用榫卯方法，使立方體的26個外部部件連接在一起，沒有中心部件。這種連接很難做到足夠精確，這樣人臉就會很容易轉動。18］．

在圖8標準的3 × 3 × 3立方體由26個獨特的微型立方體組成，也被稱為“塊”或“立方體”，包括一個中心軸架，6個中心塊，8個角塊和12個邊塊。不同類型的魔方如圖所示9．其中每一個都包括一個隱蔽的向內延伸，與其他部件互鎖，同時允許它們移動到不同的位置。

數字10說明中心件可以被分成兩個部分。中心件與中心軸架通過彈簧加載螺釘連接，如圖所示11．

數字12介紹了一件一件地組裝不同零件的過程。邊緣上的約束是由結構約束和相鄰兩個中心的力鎖定形成的。角件上的約束是由結構約束和相鄰三個邊的力鎖定形成的。

中心與邊緣、邊與角之間的接觸方式如圖所示13．它們都通過一個平麵和一個曲麵相互接觸。

角片和邊片的腳(向內延伸)緊密地鉤在一起。這些形成了一個卡盤，類似於機器的夾緊部分，如圖所示14(a).一方麵，如圖9個小塊14(b)緊緊夾緊，以免鋪開。另一方麵，魔方層在外力作用下可以繞軸靈活旋轉。

魔方的特點是小塊通過相互鑲嵌的方式連接在一起，這與基於八卦形而上學原理而發明的魯班鎖類似。魯班鎖是中國傳統的智能玩具。它起源於中國古代建築的骨架結構。它的各個部分由結構限製連接在一起，不需要任何釘子或繩子。不同部分之間的關係是複雜的。

數字15介紹了一種球魯班鎖，它是由六塊木頭組裝而成，可以安裝在一起。6個木質部分如圖所示16．在組裝中，木製部件被緊固在一起，留出空間插入後組件，直到“鑰匙孔”的最後一部分被放置。整個魯班鎖緊緊地連在一起，各部分相互製約，相互支撐。魔方的組合結構源自魯班鎖的蹲式結構。

六例魯班鎖結構如圖所示17．榫卯結構采用凹凸處理的連接方法連接。這顯示了古人偉大的創造力和成就。

榫卯結構的穩定性受凹槽的位置、拚接的密度、開溝的密閉性等因素的影響。榫卯結構的成功連接取決於大小不同的部件如何精確地放置在一起。當一根木條被移開時，整個鎖就會摔成碎片。魯班鎖和魔方都采用馬賽克結構，以達到整體的穩定性。魔方和魯班鎖的區別是，魔方可以通過施加力使一層翻轉，而魯班鎖不能。

排列與組合特性

組合學起源於《東羅書》，為滿足人類計數的需要，提出了排列和組合的思想[13］．中國古代的八卦、天幹地支曆法以及一些占卜方法都包含著排列和組合的概念。八卦圖可以描述魔方的空間坐標係，與笛卡爾坐標係一一對應。這說明魔方的旋轉變換包含著排列和組合的思想。魔方通過旋轉棋子達到所需的狀態和各種顏色的組合。

原來的(3 × 3 × 3)魔方有六個麵。最初，每個麵都有相同的顏色，每個麵有九個小的外表麵。它們總共是54個外表麵。魔方的每一麵都是由不同的一麵隨機旋轉幾次後形成的各種色塊組成的。

原始的(3 × 3 × 3)魔方有8個角和12條邊。角可以安排在8!(40320)種方法，有3種⁷(2187)個可能的方向，因為第八個(最後一個)角的方向取決於前麵的方向。邊可以按12排列!/2(239,500,800)種方式，限製從12!因為邊必須是偶數排列正好和角一樣。有兩個¹¹(2048)種可能性，因為有11條邊可以獨立翻轉，第12條邊的翻轉取決於前麵的邊。魔方構型物種的數量約為

這大約是43億兆[19］．

魔方不同構型之間的轉換可以作為一種模式，利用排列組合的思想，追求答案的多樣性。組合與轉換的特性啟發了產品設計思維，尤其在工業產品模塊化和結構設計方麵具有實際應用價值[20.］．

循環特征

循環是魔方的基本特征之一。如果使用任意操作序列(旋轉序列)對立方體進行循環操作，則會達到循環狀態。運行的周期特性可分為周期性和非周期性兩類[12］．

假設魔方通過一定的數字運算和指定的運算從原來的狀態重新回到原來的狀態，這意味著魔方實現了一個循環。循環周期是魔方旋轉的次數。如果循環周期是恒定的，則循環是周期性的。如果循環周期是可變的，則循環是非周期性的。非周期性循環的操作序列基於周期性循環操作的序列和導致多維數據集模式顯示非周期性變化的“恒定過程”操作序列。“恒定過程”的操作順序是指在這一係列操作之後，所有的部件都可以恢複到原來的狀態。

隨著第一個魔方的成功發明，匈牙利製造了一組商業魔方。1978年，魔方在德國紐倫堡國際博覽會上被評為最佳玩具，其發明者魯比克被授予“世界最佳遊戲發明獎”。從此，魔方風靡全球。與此同時，在赫爾辛基舉行了一次國際數學家代表會議。魔方引起了專家和研究人員的極大關注。此後，關於魔方的文章和著述不斷發表，探索魔方奧秘的大門也隨之打開。

魔方的科學隱喻

魔方的科學隱喻有兩個含義。一是利用現有的科學理論或方法來研究立方體問題。大衛[21，22在組合學和群論方麵提出了一套魔方的標準符號。結構的旋轉和循環換位是對群論概念和定理的最好詮釋。李(12]用晶體學符號建立了一個數學模型，描述了一種n基於點群理論的-序立方體。在此基礎上，編製了求解立方體問題的計算機程序。

魔方被視為研究具體科學問題的抽象工具。在文獻中[12，魔方被用作模型來研究晶體電子衍射、混沌、遺傳和其他科學問題。美國數學家喬伊納·大衛[23討論了完全基於魔方和其他類似數學玩具的群論。陳(24]研究了魔方的旋轉，並定義了魔方組的概念。

根據魔方的旋轉定律，群論係統描述了魔方群體的許多性質。魔方是物理學中用來描述基本粒子的模型。此外，自然界中一些物質的結構類似於魔方的結構，包括Ag/AgCl [25和TiO₂nanocage [26，如圖所示18．

此外，魔方在心理治療領域也有一定的應用[27］．魔方由於含有豐富的科學知識，在教育界逐漸受到重視。一些中小學開設以立方為基礎的數學課程，以提高學生的學習能力。也有相關研究顯示，在小學數學活動中使用“玩方塊”作為教學指導，有利於激發學生的學習興趣，引導學生進行抽象思維和發展空間思維[28］．魔方被視為一種工具，可以應用相當複雜的數學來生成一些求解算法[29］．

魔方算法

魔方自發明以來，就被譽為具有獨特魅力的經典益智玩具。從一般恢複到快速最小步驟恢複，從單手扭曲到盲目恢複[30.，越來越多的魔方愛好者和賽車選手熱衷於玩魔方這個更高的挑戰。

魔方有很多種解法。“層第一定律”是由大衛·辛格馬斯特提出的，被大多數人使用。首先，恢複頂層，然後恢複中間層，最後恢複底層。數學家康威[31)提出了一種從立方體底部到中間再到頂部，從邊緣片逐漸到角落片的六階段還原方法。帕特裏克(32]提出了一種六麵還原法:先還原頂層的角片和邊緣片，再還原底層的角片，最後還原中間和底層的邊緣片。傑西卡發明了“弗裏德裏克法”，被大多數賽車選手用來快速恢複魔方。這種方法被廣泛使用，激勵和影響了魔方研究人員，並在魔方的發展中發揮了關鍵作用[33］．

魔方的算法也可以通過計算機人工智能來求解。Richard E. Korf利用“宏算符”技術，通過計算機程序求解魔方算法，得到了完整的魔方邊約簡過程總結[34］．Rokicki等人證明了解立方體的最大移動次數為20 [35］．

魔方特性的應用

近年來，隨著寬帶網絡的發展和信息時代的到來，數據信息的安全和隱私權的保護變得越來越重要。當魔方處於初始狀態時，每個麵的所有補丁都是相同的顏色，旋轉幾次後會變得混亂。魔方恢複可以遵循旋轉的反向步驟，也可以遵循魔方恢複的分解步驟。因此，旋轉後的序列可以看作是一個加密的密鑰，對信息進行加密或隱藏。否則，解密是非常困難的[36］．

在參考文獻。［37，38，39]，采用混沌序列作為魔方的變換參數，通過循環移位算法實現圖像的加密方法。參考文獻[40，提出了一種基於魔方原理和混沌貝克映射的圖像加密方法。該技術提高了魔方加密技術的安全級別。

此外，提出了一種基於魔方概念的混沌混合算法用於水印圖像[41］．Ref。42]利用魔方參考矩陣和三維結構實現灰度圖像的信息隱藏。

參考文獻[43]， Tsai提出了基於魔方算法應用的多形態圖像日期隱藏。一張圖像可以被分割成54個單元，形成一個魔方。依次選取54個單元，根據魔方的6個麵，指定索引號，變換成6個麵，如圖所示19和圖20.．通過執行魔方算法，加密的數據被打亂。

在敏感信息傳輸方案中應用魔方算法加密不安全物理通道上的信息流量[44］．還有一種基於指紋算法的雲端數據保護機製，通過控製魔方旋轉對文件進行加密，魔方旋轉取決於用戶指紋的特征值[45］．

魔方結構的旋轉和排列特性增加了密碼的抗攻擊能力。因此，魔方在加密領域非常有用，成為驗證機器人操作員能否達到初始標準的理想實驗道具。

參考文獻[46]，將魔方的回收作為具有不同傳感器(如視覺、力、扭矩和觸覺傳感器)的機器人的3D操作任務。機器人控製係統的控製器性能可以通過還原魔方的操作來測試[47，如圖所示21，包括機器人的運動、加速度、延遲和方向[48］．

有一種方法可以用機器人解決魔方，它基於無創的腦機接口，不使用手，隻考慮魔方的旋轉。這種方法提高了解方的速度，也幫助了不能用手解方的殘疾人[49］．

如今，隨著科學技術的智能化發展，一個機器人就能成功還原魔方，這意味著智能技術越來越成熟。設計一種能從任意破壞中自動恢複魔方的智能機器人，涉及數字圖像處理、計算機視覺、模式識別技術、人工智能、組織等多個學科的技術。在還原魔方的過程中，可以檢測到機器人的性能，也可以反映出某一機構的缺失。提出適當的方法及時彌補機器人的不足，將促進機器人向更高智能化方向發展。

一些與機械設計相關的概念出現了，一些利用魔方結構特點的產品也被發明出來了。例子包括一種由帶有下巴的魔方結構組成的新密碼鎖[50］．參考文獻[51]，設計了一種變形機構，該機構利用立方體作為機器運行的平台，可用於多結構。此外，關於立方體在航空航天中的應用也有一些想法，如將立方體結構與衛星相結合，利用立方體衛星驅動立方體單元定位和方向重構，以完成各種任務[52］．趙提出了一種可變形魔方型深空探測飛機的應用設計，將模塊化、可旋轉的魔方結構特點應用到航天器上，使立方體的每個盒子都有明確的實驗室劃分，然後通過合作完成深空探測任務[53］．受無處不在的魔方玩具的啟發，一種無需設備的方法被提出來製造紙質分析儀器[54］．

魔方、中國人發明的“華榮道”和法國人發明的“獨立鑽石”被稱為世界三大智力玩具[55］．雖然魔方的發明隻有40多年，但它已經受到了世界各地的人們的歡迎，越來越多的魔方愛好者和學者已經迷上了魔方的魅力。主要原因是魔方包含了深奧的數學原理和包羅萬象的變換，吸引了好奇的人們去探索魔方的奧秘。

這些研究人員研究了魔方旋轉的描述，探索了魔方的恢複算法和數學原理，並以魔方為模型研究了多學科的科學問題。從以上的研究可以看出，隨著魔方的研究和應用，魔方已經不僅僅是智力玩具了。它已從一個研究對象轉變為多學科研究的重要對象。這些研究和應用主要是基於魔方結構的抽象特征。對魔方內部機製規律的研究才剛剛開始。魔方結構的機理原理還有待深入研究。

玩具結構及機構

現有機製的一些新理論是受到手工藝或精美玩具的啟發，並通過相關研究進行創新。

魏(56]用環螺杆方程分析了色球機構的自由度。參考文獻[57]，基於結構分解理論和等效螺旋係統對魔球機構的自由度進行了分析。通過對具有耦合特性的玩具的研究，提出了多回路耦合機構的理論。數字22介紹了色球機理和魔球機理。

丁(58，59，60]利用蛇立方研究了機構構成要素的數學表達式、機構運動的等價處理、機構運動幹涉的描述和同構識別，以及能夠實現目標構型的可重構機構的序列定義。參考文獻[61，計算了目標構型的位置解。蛇立方的研究豐富了模塊化可重構機構理論，如圖所示23．

郭(62]分析了可重構立方體機製，如圖所示24．它是一個由八個相連的子立方體組成的拚圖連杆，相當於一個具有八種不同拓撲構型和可變機動性的單環8R空間連杆。

蕭分析了開眼益智鎖的結構，開眼益智鎖在中國古代使用廣泛，種類繁多。開鎖孔謎鎖，如圖所示25，是在運行中具有不同拓撲結構的可重構機構[63］．

戴等人。[64，65]從對折紙工藝品的研究中提出了變形機理的理論。這引起了學術界的廣泛關注，已成為力學領域的最新課題之一。

變形機構具有可變自由度和拓撲結構的特點，可適用於多種工作條件。這種機製可以適用於非結構化環境、可變條件和多任務處理[66］．Lee和Herve提出了一種從魔方原理擴展而來的不連續自由鏈接機製，具有杆數和自由度可變的特性[67］．

通過對魔方的分析，發現魔方機構的一些性質與變形機構相似，一些性質與多環耦合機構相似。實例包括多環耦合機構的內環與運動鏈的耦合特性，以及自由度變化和運動在特定位置後的變化的運動分岔特性。由此可見，魔方具有多種機構特性，是多種機構特性的組合，但這並不是上述機構的簡單疊加。

魔方的結構巧妙、簡單、緊湊，而且不斷變化。它在一定程度上超越了傳統機製的拓撲概念和傳統的製度設計方法。魔方已經在日常生活中得到了應用，學者們在機構領域對魔方問題進行了研究。隻有對魔方結構進行深入的研究和分析，才能係統地實現魔方機構拓撲理論。

魔方在機械領域的應用前景

隨著機械產品需求的不斷提高，經典機構正向現代複雜機構發展，由固定拓撲向變拓撲發展，由弱耦合向強耦合發展。變拓撲和強耦合的立方體體逐漸引起人們的關注。與並聯機構和簡單的多回路耦合機構相比，魔方結構具有更高的複自由度，魔方結構的機架連接多個末端執行器，杆與杆之間的連接是不連續的。但魔方因其空間利用率高、組合多、運動形式複雜、結構多模塊等特點，在工業領域具有很大的應用潛力。

魔方在機械行業的應用有以下三個思路:

1. (1）

   魔方的多端執行器和排列組合能力可應用於機械設計。魔方機構可以作為多功能機械產品的主體結構。利用立方體機構的旋轉可以實現所期望的位置或運動形式，使執行機構的不同端在一定的位置上按順序完成一項任務，或使執行機構的不同端一起工作，有序地合作完成一項工作。

2. （2）

   根據魔方結構不同於一般結構的運動對特性，可以將魔方運動對集成到目前的工業機構中。如果這種巧妙的設計應用能夠取代機器人的球麵關節，將解決球麵關節旋轉角度小受機械結構限製的問題，從而擴大機器人的工作空間，特別是並聯機構的工作空間。如果這種設計可以應用到機床支架或機械臂的機械手上，那麼夾緊和操作的靈活性將大大提高。

3. （3）

   魔方結構具有很高的空間利用率。如果將這一特性應用到其他機械產品上，將促進機械產品的小型化進程。

此外，隨著世界航空航天工業的發展，深空探測項目將會越來越多。魔方結構的模塊化、可旋轉、多功能、多用途和可回收功能等特點可以應用到深空探測航天器或飛行器的設計中。

根據以上的應用思路，立方體結構的應用還需要進行基礎的理論研究。產品的運動要達到一定的方向，就涉及到自由度的研究，以達到所需的運動形式和特定的狀態相關的結構數學表達式和變質性質。魔方機構存在一些問題，包括一定程度的靈活性，大量的表麵接觸，一些特殊位置的運動方向，等等。後續研究的具體靜力，摩擦，控製和其他主題將涉及。

隨著進一步的探索，魔方的潛在應用需要對魔方結構的機理問題進行研究。這可以為立方體機構的應用奠定理論基礎，促進特殊立方體機構從教育玩具到機械(如機器人、航空航天等)。

魔方有很多種。在理論研究和應用方麵取得了一定的成果。本文係統介紹了魔方的起源和發展，分析了魔方的結構和性能特點，考察了魔方的研究現狀，包括科學隱喻、還原算法、特性應用等。

魔方的外部特性已經在多學科領域進行了研究和應用，因此，魔方內部結構的原理也應該同時進行探索。

本文闡述了魔方與機理之間的關係。魔方在機械領域的研究還處於起步階段。對魔方機構的新問題進行研究，形成係統的魔方機構理論。部分研究成果對魔方機構在機械工程應用中的發展具有指導意義。

研究立方體機理，促進立方體結構的發展具有重要意義。立方體機構的拓撲理論還有待進一步研究。結合魔方的研究現狀，以及在數學、物理、計算機、生物等科學研究中的溢出效應，可以認為魔方在機械行業的應用前景十分廣闊。

D-XZ和ZH負責整個試驗;ML和J-JW撰寫了手稿;Y-LH和W-JL協助取樣和實驗室分析。所有作者閱讀並批準了最終稿件。

作者的信息

曾大興，1978年生，現任北京大學教授中國燕山大學。他獲得了機械電子工程博士學位中國燕山大學2008年。主要研究方向為機構與機械理論、並聯機構、類型綜合和圖像處理。

李明，1992年生，現就讀於清華大學碩士研究生中國燕山大學。主要研究方向為魔方分析、並聯機構和類型綜合。

王娟娟，1991年生，現就讀於清華大學碩士研究生中國燕山大學．主要研究方向為並聯機構。

侯玉雷，1980年出生，現任北京大學教授中國燕山大學．主要研究方向為並聯機構、多軸力傳感器、人體機器人仿生學等。

呂文娟，1983年生，現任北京大學副教授中國燕山大學．主要研究方向為並聯機構、型綜合等。

黃震，1936年生，現任北京大學教授、博士生導師燕山大學機械工程學院，中國．主要研究方向為並聯機器人、類型綜合和拓撲。

相互競爭的利益

作者聲明他們沒有競爭利益。

資金

國家自然科學基金(No. 51775473)、河北省自然科學基金(No. 51775473)資助;E2018203140)，河北省技術創新引導計劃係統建設項目(批準號18241905D)。

出版商的注意

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從屬關係

1. 燕山大學機械工程學院，河北秦皇島066004

   曾大興，李明，王娟娟，侯玉蕾，呂文娟，黃震

相應的作者

對應到甄黃．

開放獲取本文根據創作共用署名4.0國際許可協議發布(http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/)，該協議允許在任何媒體上不受限製地使用、分發和複製，前提是您適當地注明原作者和來源，提供創作共用許可的鏈接，並說明是否有更改。

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